Để chứng minh \( OP \perp MN \), ta có thể thực hiện như sau:

1. **Xét tứ giác \( MOCN \):**

- \(\angle ANC = 90^\circ\) và \(\angle BMD = 90^\circ\), suy ra:
\(\angle MOC + \angle MNC = 180^\circ\).

- Điều đó có nghĩa là tứ giác \( MOCN \) là tứ giác nội tiếp.

2. **Tính chất của đường tròn:**

- Do \( MOCN \) là tứ giác nội tiếp, nên:
\(\angle MNO = \angle MCO\) (các góc nội tiếp cùng chắn cung MC).

3. **Xét tam giác \( AOB \):**

- P là trung điểm của AB, nên OP là trung tuyến.
- Do giao của các đường chéo \( AC \) và \( BD \) vuông góc với nhau,
đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) có tâm là O.

4. **Chứng minh \( OP \perp MN \):**

- Ta có \(\angle MNO = \angle MCO = 90^\circ - \angle COM = 90^\circ - \angle AOB\).

- Từ tứ giác nội tiếp, góc \(\angle MNO\) và \(\angle MPO\) có tổng bằng \(90^\circ\).

Như vậy, \( OP \) vuông góc với \( MN \).

Vậy, ta đã chứng minh được \( OP \perp MN \).