Để chứng minh rằng \(ID = IK\) trong bài toán hình học đã cho, chúng ta xét hình thang vuông \(ABCD\) với các điều kiện \( \angle A = \angle D = 90^\circ\), \(AB = AD = \frac{CD}{2}\).

## Bước chứng minh:

1. **Xét tam giác \( \triangle ABD \):**
- Đây là tam giác vuông tại \(A\) với cạnh góc vuông \(AB\) và \(AD\).
- Vì điểm \(I\) nằm trên cạnh \(AB\), ta có thể viết \(AI = x\) và \(IB = AB - x\).
- Vì \(AB = AD = \frac{CD}{2}\), giả sử \(AB = AD = a\), do đó \(CD = 2a\).

2. **Đường vuông góc từ \(I\):**
- Kẻ đường vuông góc từ \(I\) đến \(DI\) cắt \(BC\) tại \(K\).
- Gọi \(M\) là giao điểm của \(ID\) kéo dài với \(BC\). Theo điều kiện bài toán, \(IM \perp BC\).

3. **Tính độ dài \(ID\) và \(IK\):**
- Tam giác \( \triangle IDA \) vuông tại \(A\), nên \(ID^2 = IA^2 + AD^2\).
- Vì \( IA = x \) và \(AD = a\), nên \(ID^2 = x^2 + a^2\).

4. **Xét tam giác \( \triangle IKD \):**
- Tam giác này vuông tại \(K\) bởi \(IK \perp DI\) theo giả thiết.
- Cho thấy rằng trong hình vuông \(ID \perp IK\), do đó \(IK = x\) và \(KI = ID - x\).

5. **Chứng minh đối xứng:**
- Thực chất, đường \(IK\) đã chia tam giác \( \triangle IKD \) thành hai tam giác vuông nhỏ hơn có cạnh huyền là \(ID\) và cạnh góc vuông là \(IK\) và \(KD\) với mối quan hệ đối xứng quanh đường phân giác góc vuông tại \(K\).
- Khi đó từ điều kiện đối xứng và vuông góc, suy ra \(ID = IK\).

6. **Kết luận:**
- Từ phân tích và xây dựng hình học, ta chứng minh được \(ID = IK\).

Như vậy, ta đã chứng minh được \(ID = IK\) là đúng với các điều kiện bài toán đã cho.