Để tính hai bài toán này, ta đi từng phần:

a) \( A = 100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \ldots + 2^2 - 1^2 \)

Ta có thể viết lại từng cặp như sau:

\[ (n^2 - (n-1)^2) = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1 \]

Áp dụng cho từng cặp, ta có:

\[ A = (100^2 - 99^2) + (98^2 - 97^2) + \ldots + (2^2 - 1^2) = (2 \times 100 - 1) + (2 \times 98 - 1) + \ldots + (2 \times 2 - 1) \]

Như vậy, \( A = 199 + 195 + \ldots + 3 \).

Đây là một cấp số cộng với công sai là 4. Ta có công thức tổng:

\[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \]

Với \( a_1 = 199 \), \( a_n = 3 \) và số phần tử \( n = 50 \). Tính tổng:

\[ A = \frac{50}{2} \times (199 + 3) = 25 \times 202 = 5050 \]

b) \( B = -1^2 + 2^2 - 3^2 + \ldots + (-1)^n \cdot n^2 \)

Đây là một chuỗi luân phiên giữa số âm và số dương. Để đơn giản, nếu \( n \) là số chẵn thì ta nhóm lại:

Nhớ rằng mỗi cặp số có tổng:

\[ (-k^2 + (k+1)^2) = -k^2 + ((k+1)^2) = k + 1 + k = 2k + 1 \]

Nếu \( n \) là số chẵn, tổng \( B \) có thể được viết thành một tổng của những dạng như vậy. Ta cần tính chỉ số của từng phần tử trong tổng đó:

- Nếu \( n \) là số chẵn, ta có \(\frac{n}{2}\) cặp, mỗi cặp có tổng là \( 2k + 1 \).

Giống như trên, nếu dạng tổng \( S = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) \), có công thức tổng là:

\[ S = n^2 \]

Vì các số từ 1 đến \( n \) có tổng như vậy.

Nhưng do bắt đầu từ \(-1^2\), nên ta sẽ điều chỉnh theo số lẻ tổng thể:

Nếu \( n = 2m \):

\[ S = m^2 - m \]

Nếu \( n = 2m + 1 \):

\[ S = m^2 + (2m + 1)\]

Cách trên giúp ta diễn đạt tổng mà không gây nhầm lẫn, tùy vào giá trị \( n \).

Vậy tổng sẽ phụ thuộc số \( n \) cụ thể để xác định tổng chính xác. Nhưng nguyên lý là áp dụng trên.