Để giải quyết các bài toán trên, ta cần thiết lập các phương trình từ dữ liệu đã cho và giải hệ phương trình đó.

a) Ta có:
\[ \frac{a \cdot b}{a + b} = \frac{1}{3} \]
\[ \frac{b \cdot c}{b + c} = -\frac{2}{3} \]
\[ \frac{a \cdot c}{a + c} = -\frac{3}{4} \]

Chuyển đổi các phương trình này thành dạng có thể giải quyết:

1. \( a \cdot b = \frac{1}{3} \cdot (a + b) \)

2. \( b \cdot c = -\frac{2}{3} \cdot (b + c) \)

3. \( a \cdot c = -\frac{3}{4} \cdot (a + c) \)

Giải hệ phương trình này bằng cách sử dụng các phương trình trên để biểu diễn quan hệ giữa \( a, b, \) và \( c \).

b) Ta có:
\[ a \cdot b = \frac{3}{5} \]
\[ b \cdot c = \frac{4}{5} \]
\[ c \cdot d = \frac{3}{4} \]

Giải hệ phương trình này để tìm \( a, b, c, \) và \( d \) bằng các biểu diễn từ các phương trình đã cho.

c) Ta có:
\[ \frac{a \cdot b}{a + b} = -\frac{2}{3} \]
\[ \frac{b \cdot c}{b + c} = \frac{4}{5} \]
\[ \frac{c \cdot a}{c + a} = -\frac{3}{7} \]

Chuyển đổi các phương trình này:

1. \( a \cdot b = -\frac{2}{3} \cdot (a + b) \)

2. \( b \cdot c = \frac{4}{5} \cdot (b + c) \)

3. \( c \cdot a = -\frac{3}{7} \cdot (c + a) \)

Giải hệ phương trình này để tìm \( a, b, \) và \( c \).

Lưu ý rằng, không có cách giải tổng quát cho các hệ phương trình này mà cần phải thử lấy các giá trị cụ thể hoặc dùng phương pháp giả định và kiểm tra lại để tìm ra một bộ giá trị phù hợp cho \( a, b, \) và \( c \). Trong một số trường hợp, cũng có thể cần sử dụng các phương pháp số học hoặc máy tính để tìm ra nghiệm chính xác.