Chứng minh BG = GK

Để chứng minh BG = GK trong bài toán đã cho, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Từ giả thiết:**
- Tam giác \( \Delta ABC \) cân tại A.
- AM và CN là trung tuyến cắt nhau tại G.

2. **Chứng minh BG = GK:**
- Do AM và CN là trung tuyến, G là trọng tâm của tam giác \( \Delta ABC \).
- Tính chất trọng tâm: Trọng tâm G chia mỗi trung tuyến thành một đoạn tỉ lệ \( 2:1 \) (đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 độ dài trung tuyến).

3. **Xét việc chia đoạn NC tại G:**
- G là trọng tâm nên \( NG = \frac{2}{3} \times CN \).
- Vì K được chọn trên tia đối của NC sao cho \( NK = NG \), dẫn đến \( NK = \frac{2}{3} \times CN \).

4. **Sử dụng tính chất đoạn song song:**
- \( NK = NG \) nên G là trung điểm của \( BK \) (vì trên cùng một đoạn thẳng từ N qua G tới K).
- Suy ra, BG = GK do cả hai đoạn \( BG \) và \( GK \) chia \( BK \) thành hai phần bằng nhau.

Vậy từ những chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng \( BG = GK \).