Đề bài cho biểu thức:

\[ P = \frac{x \sqrt{2} - 2\sqrt{\sqrt{x}-1} - x + 6\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} - 2 - \sqrt{x + 2} - 4}, \text{ với } x \geq 0, x \neq 4. \]

a) Rút gọn biểu thức \( P \).

Trước hết, xem xét điều kiện tồn tại của biểu thức. Do \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \), ta cần chú ý đến các căn bậc hai, do đó ta cần \( \sqrt{x}-1 \geq 0 \) và \(\sqrt{x+2} -4 \neq 0\).

Điều kiện:
1. \( \sqrt{x} \geq 1 \Rightarrow x \geq 1 \).
2. \( \sqrt{x+2} \neq 4 \Rightarrow x \neq 14 \).

Xét các giá trị biểu thức khi rút gọn.

Thử đưa các hạng tử chứa căn ra ngoài hoặc đưa về dạng dễ tính toán để đơn giản hóa.

b) Tính giá trị của \( P \) khi \( x = 9 + 4\sqrt{5} \).

Thay \( x \) vào \( P \) và tính giá trị cụ thể từ biểu thức đã được rút gọn ở phần a), lưu ý có thể cần áp dụng phép biến đổi phụ thuộc vào căn bậc hai.

Đảm bảo rằng với giá trị này, các điều kiện tồn tại của \( P \) được thỏa mãn.