Để biểu thức

\[
P = \frac{3x - 9\sqrt{x} + 11}{x - 3\sqrt{x} + 3}
\]

có giá trị là số nguyên, ta cần phân tích điều kiện sao cho tử số chia hết cho mẫu số.

Đặt \( u = \sqrt{x} \), tức là \( x = u^2 \). Thay vào biểu thức \( P \), ta có:

\[
P = \frac{3u^2 - 9u + 11}{u^2 - 3u + 3}
\]

Yêu cầu \((3u^2 - 9u + 11)\) chia hết cho \((u^2 - 3u + 3)\).

### Bước 1: Chia đa thức

Ta sử dụng phép chia đa thức:

- Hệ số của \( u^2 \) nhân với \((u^2 - 3u + 3)\):

\[
3(u^2 - 3u + 3) = 3u^2 - 9u + 9
\]

- Hiệu của hai đa thức:

\[
(3u^2 - 9u + 11) - (3u^2 - 9u + 9) = 2
\]

Vậy:

\[
P = 3 + \frac{2}{u^2 - 3u + 3}
\]

Để \( P \) là số nguyên, \(\frac{2}{u^2 - 3u + 3}\) phải là số nguyên, nghĩa là \(u^2 - 3u + 3\) là ước của 2.

Bảng các giá trị là \( \pm 1, \pm 2 \).

### Bước 2: Giải các phương trình

**Trường hợp 1**: \( u^2 - 3u + 3 = 1 \)

\[
u^2 - 3u + 2 = 0 \quad (u-1)(u-2) = 0
\]

Giải phương trình: \( u = 1 \) hoặc \( u = 2 \).

Tương ứng, \( x = 1 \) hoặc \( x = 4 \).

**Trường hợp 2**: \( u^2 - 3u + 3 = -1 \)

\[
u^2 - 3u + 4 = 0
\]

Phương trình này vô nghiệm trong tập số thực.

**Trường hợp 3**: \( u^2 - 3u + 3 = 2 \)

\[
u^2 - 3u + 1 = 0
\]

Giải nghiệm ta tiến hành tính:

\[
\Delta = 9 - 4 = 5 \quad \Rightarrow \quad u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}
\]

Do \( u = \sqrt{x} \), giá trị này là nghiệm hợp lệ.

Vậy tất cả các giá trị thực \(x\) sao cho \(P\) là số nguyên là \( x = 1, x = 4, x = \left(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^2 \).