Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
mx + y = 10 \\
2x - 3y = -6
\end{cases}
\]

Chúng ta cần xác định điều kiện của \( m \) để đánh giá số nghiệm:

1. **Hệ có nghiệm duy nhất**:

Để hệ có nghiệm duy nhất, hai đường thẳng phải cắt nhau tại một điểm, nghĩa là hai đường thẳng không song song. Điều này xảy ra khi tỷ số các hệ số của \( x \) khác tỷ số các hệ số của \( y \):

\[
\frac{m}{2} \neq \frac{1}{-3}
\]

Giải bất phương trình trên:

\[
-3m \neq 2
\]
\[
m \neq -\frac{2}{3}
\]

Do đó, khi \( m \neq -\frac{2}{3} \), hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

2. **Hệ vô nghiệm**:

Hệ phương trình vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhưng không trùng nhau. Điều này xảy ra khi:

\[
\frac{m}{2} = \frac{1}{-3} \quad \text{và} \quad \frac{10}{-6} \neq \frac{-6}{-6}
\]

Giải điều kiện đầu tiên:
\[
-3m = 2 \Rightarrow m = -\frac{2}{3}
\]

Kiểm tra điều kiện thứ hai:
\[
\frac{10}{-6} = -\frac{5}{3} \quad \text{và} \quad \frac{-6}{-6} = 1 \quad \Rightarrow \quad -\frac{5}{3} \neq 1
\]

Vậy, khi \( m = -\frac{2}{3} \) và \(-\frac{5}{3} \neq 1\), hệ phương trình vô nghiệm.

Tóm lại:
- Hệ có nghiệm duy nhất khi \( m \neq -\frac{2}{3} \).
- Hệ vô nghiệm khi \( m = -\frac{2}{3} \).