Để tìm giá trị lớn nhất của mỗi hàm, ta xem xét từng hàm riêng lẻ.

**Hàm \( Q(x) = -x^2 + 5x + 5 \):**

Đây là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = 5 \), và \( c = 5 \). Vì hệ số \( a \) là âm, đồ thị của hàm này là một parabol hướng xuống dưới, do đó nó có một đỉnh là giá trị lớn nhất.

Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) được cho bởi \( x = -\frac{b}{2a} \).

Áp dụng công thức:

\[
x = -\frac{5}{2(-1)} = \frac{5}{2}
\]

Thay \( x = \frac{5}{2} \) vào \( Q(x) \) để tìm giá trị lớn nhất:

\[
Q\left(\frac{5}{2}\right) = -\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{5}{2}\right) + 5
\]

\[
= -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} + 5
\]

\[
= -\frac{25}{4} + \frac{50}{4} + \frac{20}{4}
\]

\[
= \frac{45}{4}
\]

Vậy, giá trị lớn nhất của \( Q(x) \) là \(\frac{45}{4}\).

**Hàm \( R(x) = \frac{1}{x^2} + 2 \):**

Hàm này cần được tối ưu hóa, nhưng không có giá trị lớn nhất cố định trên miền giá trị thực của \( x \) ngoại trừ \( x = 0 \) không được tính do phân số. Tuy nhiên, giá trị \( R(x) \) sẽ tiến dần tới 2 khi \( x \to \pm \infty \), và không có giá trị lớn nhất chính thức vì \( \frac{1}{x^2} \) có thể trở nên vô cùng bé. Nên trong miền thực tế nghĩa khi \( x \neq 0 \), giá trị gần nhất ta có thể đạt tới là khi \( x \to 0 \) nhưng chúng ta không thể bằng 0 được:

\[
R(x) = \text{lớn tới } +\infty \text{ khi } x \to 0 \text{ từ cả hai phía.}
\]

Ở đây ta khẳng định \( R(x) \) không giới hạn trên hay chính thức có giá trị lớn nhất trong miền xác định của nó ngoại trừ cách tiếp cận lý thuyết trên.

Tóm lại, giá trị lớn nhất của hàm \( Q(x) \) là \(\frac{45}{4}\), còn hàm \( R(x) \) thì không có giá trị lớn nhất xác định.