To solve this problem, we'll go step by step.

### 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16:

Biểu thức A được cho là:

\[ A = \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} - 2} \]

Với \( x = 16 \), ta có \(\sqrt{x} = 4\).
Thay giá trị này vào biểu thức A:

- \( \sqrt{x} + 1 = 4 + 1 = 5 \)
- \( \sqrt{x} - 3 = 4 - 3 = 1 \)
- \( \sqrt{x} - 2 = 4 - 2 = 2 \)

Do đó:

\[ A = \frac{5 \times 1}{2} = \frac{5}{2} \]

### 2) Rút gọn biểu thức \( M = \frac{B}{A} \):

Biểu thức B được cho là:

\[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{3\sqrt{x} + 6}{x - 4} \]

Rút gọn B:

Giả sử \( \sqrt{x} = a \), thì \( x = a^2 \), và biểu thức B trở thành:

\[ B = \frac{a}{a - 2} - \frac{3a + 6}{a^2 - 4} \]

Lưu ý rằng \( a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2) \), do đó:

\[ B = \frac{a}{a - 2} - \frac{3(a + 2)}{(a - 2)(a + 2)} \]

Ta quy đồng biểu thức B:

\[ B = \frac{a(a + 2) - 3(a + 2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2 + 2a - 3a - 6}{(a-2)(a+2)} \]

\[ B = \frac{a^2 - a - 6}{(a-2)(a+2)} \]

Lại thấy \( B = \frac{(a-3)(a+2)}{(a-2)(a+2)} \)

Do đó, ta có thể rút gọn:

\[ B = \frac{a - 3}{a - 2} \]

Còn \( A = \frac{(a + 1)(a - 3)}{a - 2} \)

\[ \therefore M = \frac{B}{A} = \frac{\frac{a - 3}{a - 2}}{\frac{(a + 1)(a - 3)}{a - 2}} \]

\[ M = \frac{1}{a + 1} \]

Vậy \( M \) rút gọn là \(\frac{1}{a+1}\).

Thay lại \( a = \sqrt{x} \): \( M = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \).