Để tính diện tích vùng tô đậm, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Xác định thông tin cần thiết:**
- \( AD = 4\sqrt{3} \)
- \( DC = 8 \)
- Bán kính cung tròn \( D \) là \( DC = 8 \).

2. **Diện tích hình chữ nhật \( ABCD \):**
- Chiều dài \( AD = 4\sqrt{3} \)
- Chiều rộng \( DC = 8 \)
- Diện tích \( S_{ABCD} = AD \times DC = 4\sqrt{3} \times 8 = 32\sqrt{3} \).

3. **Tính diện tích hình quạt tròn \( DMC \):**
- Để xác định góc \( \angle MDC \), dùng tam giác vuông \( DMC \) với \( DM = MA \).
- Diện tích hình quạt \( DMC = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (8)^2 = 16\pi \).

4. **Tính diện tích tam giác \( ADM \):**
- \( AM = \frac{1}{2} \times AD = 2\sqrt{3} \)
- Diện tích \( S_{ADM} = \frac{1}{2} \times AD \times AM = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 12 \).

5. **Tính diện tích vùng tô đậm:**
- Diện tích tô đậm \( S_{tô đậm} = S_{hình quạt DMC} - S_{\triangle ADM} \).
- \( S_{tô đậm} = 16\pi - 12 \).

Vậy diện tích vùng tô đậm là \( S = 16\pi - 12 \).