Bài tập toán 8

## Bài 10:

Cho tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \). Từ \( H \) kẻ \( HN \perp AC \), \( HM \perp AB \) với \( N \in AC, M \in AB \). Trên tia đối của tia \( NH \) lấy điểm \( E \) sao cho \( NE = NH \).

### a) Tứ giác \( AMHN \) là hình gì? Vì sao?

**Giải:**

- \( AH \perp BC \), \( HN \perp AC \) nên \( \angle AHN = 90^\circ \) và \( HM \perp AB \) nên \( \angle AMH = 90^\circ \).
- Vậy, \( \angle AHN + \angle AMH = 180^\circ \).
- Do đó, tứ giác \( AMHN \) là tứ giác nội tiếp.

### b) Chứng minh tứ giác \( AMNE \) là hình bình hành.

**Giải:**

- \( NE = NH \) (giả thiết) và \( \angle NEH = 90^\circ \).
- Do đó, \( \angle NEM = \angle NHM = 90^\circ \).
- Trong tam giác vuông \( \triangle AMH \), \( \angle AMH = 90^\circ \).
- Vậy, \( EM \parallel AH \) và \( NE = NH = AM \), nên \( AMNE \) là hình bình hành.

### c) Gọi \( O \) là giao điểm của \( MN \) và \( AH \), \( EM \) cắt \( AH \) tại \( G \). Chứng minh \( AE = 6 \cdot OG \).

**Giải:**

- Do \( M, N, E \) đối xứng nhau qua \( G \), nên \( OG = \frac{1}{2} \times AE \).
- Vậy, \( AE = 6 \cdot OG \).

## Bài 11:

Cho tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) có \( AB < AC \), đường cao \( AH \) và trung tuyến \( AE \). Gọi \( D, F \) lần lượt là hình chiếu của \( E \) trên \( AB, AC \).

### a) Chứng minh \( ADEF \) là hình chữ nhật.

**Giải:**

- \( DE \perp AB \) và \( EF \perp AC \) theo giả thiết.
- \( \angle DEA = \angle EFA = 90^\circ \).
- Tứ giác \( ADEF \) có hai góc vuông nên là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh \( BDEF \) là hình bình hành.

**Giải:**

- \( BE \perp ED \) và \( EF \perp DF \).
- Do đó, \( BDEF \) có các cạnh đối song song và bằng nhau, nên là hình bình hành.

### c) Chứng minh \( DFEH \) là hình thang cân.

**Giải:**

- \( DF \parallel EH \).
- \( DE = EF \) do \( DE \perp AB \) và \( EF \perp AC \).
- Nên \( DFEH \) là hình thang cân.

### d) Lấy \( M \) sao cho \( F \) là trung điểm của \( EM \) và \( N \) sao cho \( F \) là trung điểm của \( BN \). Chứng minh \( A, N, M \) thẳng hàng.

**Giải:**

- Do \( F \) là trung điểm của cả \( EM \) và \( BN \), theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có \( AM \parallel BN \).
- Do đó, \( A, N, M \) thẳng hàng.

*Hình vẽ minh họa*:

- Vẽ tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) và đường cao \( AH \).
- Vẽ hình chữ nhật \( ADEF \) với \( D, F \) và các đoạn thẳng theo bài toán đã nêu.