Để tìm ba số \(a\), \(b\), và \(c\) thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta có thể thiết lập hệ phương trình:

1. \( a - b + c = 34 \)
2. \( \frac{a}{b} = \frac{3}{5} \), nghĩa là \( a = \frac{3}{5}b \)
3. \( b \cdot c = 5 \cdot 4 = 20 \)

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này:

Từ phương trình (2), ta có:
\[ a = \frac{3}{5}b \]

Thay vào phương trình (1):
\[
\frac{3}{5}b - b + c = 34
\]

Điều này có thể được viết lại như sau:
\[
-\frac{2}{5}b + c = 34
\]

Từ phương trình (3), ta có:
\[ c = \frac{20}{b} \]

Bây giờ, thay \( c = \frac{20}{b} \) vào phương trình:
\[
-\frac{2}{5}b + \frac{20}{b} = 34
\]

Giải phương trình trên:

1. Trước tiên, đưa về mẫu số chung:
\[
-\frac{2}{5}b^2 + 20 = 34b
\]
2. Nhân với 5 để khử mẫu:
\[
-2b^2 + 100 = 170b
\]
3. Sắp xếp lại thành phương trình bậc hai:
\[
2b^2 + 170b - 100 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai trên bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[
b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}
\]
Với \(A = 2\), \(B = 170\), và \(C = -100\):

\[
b = \frac{-170 \pm \sqrt{170^2 + 800}}{4}
\]

\[
b = \frac{-170 \pm \sqrt{28900}}{4}
\]

\[
b = \frac{-170 \pm 170}{4}
\]

Nghiệm cho \(b\) sẽ chỉ có thể là dương, vì \(b\) biểu thị một số:

- \(b = \frac{0}{4} = 0\) (bỏ qua, vì b không thể là 0)
- \(b = \frac{-340}{4} = -85\) (không chính xác)

Chúng ta có lỗi trong tính toán, và cần một tiếp cận khác hoặc cách tham số hóa khác. Cần giải thích thêm hoặc định cái điều kiện đặc biệt sao cho công thức đủ thỏa mãn tất cả yêu cầu. Khi tính một điểm bên cụ thể cần làm cẩn thận.