Để chứng minh bất đẳng thức \(\frac{a^2 + b^2}{4} \geq 2ab\) cho mọi số thực \(a\) và \(b\), chúng ta cần thực hiện các biến đổi đại số như sau:

Trước tiên, nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số:

\[ a^2 + b^2 \geq 8ab. \]

Bây giờ, đưa tất cả về một vế:

\[ a^2 - 8ab + b^2 \geq 0. \]

Ta quan sát rằng bất đẳng thức này có dạng của một tam thức bậc hai đối với biến \(a\). Tổng quát hơn, đây là dạng của biểu thức:

\[ a^2 - 8ab + b^2. \]

Ta có thể phân tích biểu thức này bằng cách thêm và bớt một số hạng phù hợp:

\[
a^2 - 8ab + b^2 = (a - 4b)^2 - 16b^2 + b^2.
\]

Tức là:

\[
a^2 - 8ab + b^2 = (a - 4b)^2 - 15b^2.
\]

Đến đây, để biểu thức này không âm, bắt buộc \((a - 4b)^2 \geq 15b^2\).

Nhưng thực tế, dường như đã có nhầm lẫn ở chỗ viết hoặc phát biểu bất đẳng thức ban đầu. Nhìn từ bất đẳng thức chuẩn của Bunyakovsky hoặc phương trình cực biên:

Bất đẳng thức chính xác nên có dạng:

\[ a^2 + b^2 \geq 2ab. \]

Biểu thức này luôn đúng với mọi số thực \(a\) và \(b\) do:

\[ (a - b)^2 \geq 0. \]

Như vậy, nếu yêu cầu ban đầu có bất kỳ nhầm lẫn nào, thì tôi có thể giả định rằng bạn muốn chứng minh bất đẳng thức cổ điển:

\[ a^2 + b^2 \geq 2ab. \]

Còn với dạng bất đẳng thức ban đầu bạn đưa ra, có thể đã gặp lỗi trong việc phát biểu. Mong bạn kiểm tra lại phát biểu của bài toán để có thể tiến hành chứng minh hoặc giải thích phù hợp.