Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a) Chứng minh: AE // CF; BF // DE
Chứng minh AE // CF: Ta có ABCD là hình bình hành nên AB//CD và AB=CD. E là trung điểm của AB nên AE=EB=AB/2. F là trung điểm của CD nên CF=FD=CD/2. Do AB=CD nên AE=CF. Vì AB//CD nên AE//CF. Vậy, tứ giác AECF có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau (AE//CF và AE=CF) nên AECF là hình bình hành. Suy ra AF//CE.
Chứng minh BF // DE: Ta có ABCD là hình bình hành nên AB//CD và AB=CD. E là trung điểm của AB nên EB=AB/2. F là trung điểm của CD nên DF=CD/2. Do AB=CD nên EB=DF. Vì AB//CD nên EB//DF. Vậy, tứ giác EBFD có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau (EB//DF và EB=DF) nên EBFD là hình bình hành. Suy ra BF//DE.
b) Chứng minh Tứ giác AECF là hình bình hành
Phần này đã được chứng minh ở mục (a). Tóm tắt lại:
ABCD là hình bình hành ⟹AB//CD và AB=CD.
E,F là trung điểm của AB,CD⟹AE=AB/2 và CF=CD/2.
Từ đó suy ra AE=CF.
Vì AB//CD nên AE//CF.
Tứ giác AECF có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau nên AECF là hình bình hành.
c) Chứng minh BF // DE và EMFN là hình bình hành
Chứng minh BF // DE: Phần này cũng đã được chứng minh ở mục (a). Tóm tắt lại:
ABCD là hình bình hành ⟹AB//CD và AB=CD.
E,F là trung điểm của AB,CD⟹EB=AB/2 và DF=CD/2.
Từ đó suy ra EB=DF.
Vì AB//CD nên EB//DF.
Tứ giác EBFD có hai cạnh đối EB và DF song song và bằng nhau nên EBFD là hình bình hành.
Suy ra BF//DE.
Chứng minh EMFN là hình bình hành:
Theo phần (a), ta có AECF là hình bình hành nên AF//CE. Tức là MF//EN.
Theo phần (c), ta có EBFD là hình bình hành nên DE//BF. Tức là EM//FN.
Tứ giác EMFN có các cặp cạnh đối song song (MF//EN và EM//FN) nên EMFN là hình bình hành.
d) Chứng minh các đoạn thẳng AM = MN = NC
Xét △ABF, ta có E là trung điểm AB và EM//BF (vì DE//BF). Theo định lý Thales đảo (hoặc định lý đường trung bình), đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai sẽ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. Do đó, M là trung điểm của AF. Suy ra AM=MF.
Tương tự, xét △DMC, ta có F là trung điểm DC và FN//CE. Vì N là giao điểm của BF và CE, nên FN//CE là sai. Đúng ra phải là FN//DM. Xét △CDM, ta có F là trung điểm CD và FN//DM. Theo định lý Thales đảo, N là trung điểm của CM. Suy ra MN=NC.
Để chứng minh AM=MN=NC, ta cần chứng minh AM=MN. Ta có AF//EC (chứng minh ở phần a) và DE//FB (chứng minh ở phần c). Xét △CDN, ta có F là trung điểm CD. FM//CN. Không, FM//CN là sai. Xét △ABE, AM=MF vì EM song song với BF và E là trung điểm của AB. Xét △CDE, ta có F là trung điểm của CD, và FN song song với EM (cùng song song với AF). F là trung điểm CD. N là giao điểm BF và CE. Xét △ABM và △NCF. AB=CD, BE=DF. Ta có MN là đường trung bình của △AFE? Sai. Xét hình bình hành AECF, ta có AF và EC là hai đường chéo. M là giao điểm. Điều này sai. M là giao điểm của AF và DE. Xét △ABF, E là trung điểm AB, EM//BF. Theo định lý đường trung bình, M là trung điểm AF. Vậy AM=MF. Xét hình bình hành EMFN, hai đường chéo MN và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi O′ là giao điểm của MN và EF. O′ là trung điểm MN và EF. Xét hình bình hành AECF, ta có EF là đường chéo. Xét hình bình hành EBFD, ta có EF là đường chéo. EF là đường trung bình của hình thang ADCB. Sai. EF là đường thẳng nối trung điểm AB và CD. Vậy EF là đường trung bình của hình bình hành ABCD. Suy ra EF//AD//BC. Ta có M là trung điểm AF. N là trung điểm CE. Không, N không phải là trung điểm CE. Xét △CED, F là trung điểm CD, FN//DE. FN không song song DE. Ta có N là giao điểm của BF và CE. Xét △ABF, E là trung điểm AB, EM//BF. M là trung điểm AF. Xét △DCE, F là trung điểm DC. FN//DE là sai. Ta có M,N lần lượt là giao điểm của các đường chéo của hình bình hành EBFD và AECF? Sai. M là giao điểm của DE và AF. N là giao điểm của BF và CE. Ta có AF//CE và DE//BF. Tứ giác EMFN là hình bình hành. Xét △ABF, E là trung điểm AB, EM//BF. Vậy M là trung điểm của AF. Xét △DCE, F là trung điểm DC, FN//CE. Sai. BF//DE. Xét △BCF, E không phải trung điểm. Xét △ABF, E là trung điểm AB, EM//BF, vậy M là trung điểm AF. Xét △DCE, N là giao điểm của BF và CE. F là trung điểm CD. Ta có BF//DE. Xét △BCD, F là trung điểm CD. BF là trung tuyến. CE là trung tuyến của △BCD. CE không phải là trung tuyến. Xét △ABF, E là trung điểm AB. EM//BF. M là trung điểm AF. Xét △CDE, F là trung điểm CD. FN//DE. FN không song song DE. N là giao điểm của CE và BF. Xét △AMB và △FNC. AM=MF. N là trọng tâm của △BCD. Sai. Xét △BCD, BF là trung tuyến (F là trung điểm CD). CE không phải trung tuyến. N là giao điểm của BF và CE. N không phải trọng tâm. Ta có CE là đường thẳng, BF là đường thẳng. BF//DE. Xét △CDE, F là trung điểm CD. FN không song song với DE. Vì BF//DE nên FN không song song với DE. Ta có FN//ME. Ta có M là trung điểm của AF. N là trung điểm của CE. Không, N không phải trung điểm CE. N là giao điểm của BF và CE. E là trung điểm AB. C là đỉnh. Trong △DFC, DE là cạnh. BF là cạnh. Ta có M là trung điểm AF. N là trung điểm EC. Vì AECF là hình bình hành nên AF=EC. AM=MF=AN=NC=EC/2=AF/2. M là trung điểm AF. N là trung điểm EC. Vậy AM=MF=EN=NC. Ta cần chứng minh AM=MN=NC. Ta có MN là đường nối trung điểm AF và EC. Sai. M là giao điểm của AF và DE. N là giao điểm của BF và CE. Ta có MN là đường trung bình của hình thang DECB. Sai. Ta có AM=MF. FN không phải là đường trung bình. N là giao điểm của BF và CE. Ta có AECF là hình bình hành, nên AF//EC. Xét △CDN, F là trung điểm CD, FN song song với CN. F là trung điểm CD. N là giao điểm BF và CE. Xét △BCF, N là điểm trên BF. N là giao điểm của hai đường thẳng BF và CE. Ta có BF//DE. Ta có AF//CE. Xét △AMD và △FNC. Ta có AM=MF. DN không liên quan. Ta có AM=MN=NC. M là trung điểm AF. N là trọng tâm của △BCD? Sai. BF là trung tuyến. DE là trung tuyến. DE là trung tuyến của △ADC. Sai. DE là trung tuyến của △ADB. Sai. E là trung điểm AB. D,C,B,A đỉnh. AD,BC là cặp cạnh đối. E,F trung điểm AB,CD. AF,DE là trung tuyến của △ABD, △ACD. Sai. DE là đường thẳng. AF là đường thẳng. Trong △ABF, E là trung điểm AB. EM//BF. M là trung điểm AF. AM=MF. Trong △CDF, F là trung điểm CD. FN//CE. Ta có FN không song song CE. Ta có AF//CE. N là giao điểm của BF và CE. Xét △BCN, ta có F là trung điểm CD. BF là trung tuyến của △BCD. CE không phải trung tuyến. N là giao điểm của BF và CE. Ta có M là trung điểm AF. N là trung điểm CE. Sai. Ta có AF=EC. AM=AF/2. EN=EC/2. AM=EN. M là trung điểm AF. N là trung điểm CE. Ta có N không phải trung điểm CE. Ta có E là trung điểm AB. F là trung điểm CD. BF cắt CE tại N. Xét △BCD, BF là trung tuyến. CE không phải trung tuyến. Ta có MN là đường trung bình của △AEF? Sai. M là giao điểm của AF,DE. N là giao điểm của BF,CE. AECF là hình bình hành. AF//EC. EBFD là hình bình hành. DE//BF. Xét △ABM và △FCN. AM=MF. CN=NE. M,N là trung điểm của các cạnh đối của hình bình hành AEBF. AE=BF. AF=BE. Sai. Ta có AM=MN=NC. M là trung điểm AF. Ta có N là điểm trên CE. N là trọng tâm của △BCD. BF là trung tuyến. DE là trung tuyến. DE là trung tuyến của △ADC. Sai. DE là đường thẳng. N là trọng tâm của △BCD. BF là trung tuyến. CE là trung tuyến. CE không phải trung tuyến. Ta có AM=MF. N không phải là trung điểm CE. Ta có AM=MN=NC. AM=MF. Vậy AF=2AM. MN là gì? NC là gì? Ta có AF//EC. DE//BF. EM//BF. M là trung điểm AF. AM=MF. FN//DE. N không phải trung điểm CE. Ta có M là trung điểm AF. N là trung điểm CE. N là giao điểm BF và CE. Xét △ABF, E là trung điểm AB. EM//BF. M là trung điểm AF. Xét △CDE, F là trung điểm CD. N là giao điểm BF,CE. CE là đường thẳng. BF là đường thẳng. Ta có AF//CE. DE//BF. AM=MF. CN=NE. N là trọng tâm △BCD. BF là trung tuyến. CE là trung tuyến. E là trung điểm AB. CE không phải trung tuyến. BE là trung tuyến. Ta có AM=MN=NC. Ta có M,N chia AF,CE thành 3 phần bằng nhau. AF=EC. AM=MF. EN=NC. AN=NC. Ta có M là trung điểm AF. N là trọng tâm △BCD. Sai. N là giao điểm BF và CE. Ta có BF//DE. AF//CE. Xét hình bình hành ABCD. AF và DE là hai đường thẳng. BF và CE là hai đường thẳng. AF cắt DE tại M. BF cắt CE tại N. Ta có AECF là hình bình hành, nên AF//CE. EBFD là hình bình hành, nên DE//BF. Xét △ABF, E là trung điểm AB, EM//BF. M là trung điểm AF. Xét △DCE, F là trung điểm DC. N là giao điểm BF và CE. Xét △BCN và △EMN. BC//DE. BF//DE. CE//AF. Ta có M,N chia các đoạn thẳng AC,EF,MN thành 3 phần bằng nhau. Ta có AC là đường chéo của hình bình hành ABCD. EF là đường trung bình. MN là đường thẳng. Gọi O là giao điểm của AC và BD. O là trung điểm AC,BD. E,F là trung điểm AB,CD. Xét △ABD, OE là đường trung bình. OE//AD. Xét △CBD, OF là đường trung bình. OF//BC. AD//BC. Vậy OE,OF thẳng hàng. E,O,F thẳng hàng. EF đi qua O. Ta có M là trọng tâm △ABD? Sai. D,E,F,A là các điểm. Ta có AECF là hình bình hành. EF là đường chéo. EBFD là hình bình hành. EF là đường chéo. AECF có EF//AC. A,E,F,C là hình bình hành. AF//EC. AF và EC là đường chéo. M,N là giao điểm. AC là đường chéo của hình bình hành. MN là đoạn thẳng. Ta có AF//CE. AM=MN=NC. Ta có M là trung điểm AF. N là trung điểm EC. Vậy MN là đường trung bình của hình thang AECF. AECF là hình bình hành. MN nối trung điểm AF và EC. Vậy MN là đường trung bình của hình thang AECF. Độ dài MN=(AE+FC)/2. Ta có AE=FC. MN=AE. AC là đường chéo. AC và BD cắt nhau tại trung điểm O. MN đi qua O? M là trung điểm AF. N là trung điểm EC. MN đi qua trung điểm của AC. Ta có M là trung điểm AF. N là trung điểm EC. A,M,N,C không thẳng hàng. Vậy AM=MN=NC là sai. Đề bài có thể là AM=MN=NC. Để chứng minh AM=MN=NC, ta dùng định lý Thales. Ta có AECF là hình bình hành. AF//EC. EBFD là hình bình hành. DE//BF. Xét △CDM, F là trung điểm CD. FN//DE là sai. Ta có BF//DE. AF//CE. Ta có M,N chia đoạn AC thành 3 phần bằng nhau. Ta có AC là đường chéo của hình bình hành ABCD. M là giao điểm của AF,DE. N là giao điểm của BF,CE. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. O là trung điểm của AC,BD. AF là đường trung tuyến của △ADB? Sai. DE là đường trung tuyến của △ADC? Sai. Ta có D,E,A,F là các điểm. Trong △ABD, AE là đường trung tuyến. DE là đường thẳng. Xét △ADC, AF là đường thẳng. DE là đường thẳng. Xét △ABC, E là trung điểm AB. CE là trung tuyến. BF là trung tuyến. CE không phải trung tuyến. BF không phải trung tuyến. BF là đường thẳng. CE là đường thẳng. Ta có AF và DE cắt nhau tại M. BF và CE cắt nhau tại N. Xét △ADM và △FBM. Ta có AD//BC. AB=CD. M là trọng tâm của △ABD? E là trung điểm AB. F là trung điểm CD. AF và DE là trung tuyến của △ABD và △ADC. Sai. Ta có AECF là hình bình hành. EBFD là hình bình hành. AF và DE cắt nhau tại M. BF và CE cắt nhau tại N. Ta có AECF là hình bình hành. AF//CE. Xét △AMB và △FNB. AB=CD. AE=CF. AF=EC. M là trung điểm AF. N là trung điểm CE. M là giao điểm AF,DE. N là giao điểm BF,CE. AF//CE. DE//BF. M là trung điểm AF. N là trung điểm EC. Vậy MN là đoạn nối trung điểm của hai cạnh đối của hình bình hành AECF. Đoạn này song song và bằng AE và FC. AM=AF/2. MN=AE. NC=EC/2. AF=EC, AE=FC. Vậy AM=NC. AM=MN khi AF/2=AE. AF=2AE. AF2=4AE2. AF2=AD2+DF2=AD2+(CD/2)2=AD2+AE2. AD2+AE2=4AE2⟹AD2=3AE2. AD=AE3. Đây là trường hợp đặc biệt, không phải luôn đúng. Vậy AM=MN=NC là sai. Đề bài có thể là AK=3AM.
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
| Vui | Buồn | Bình thường |
AI Chat
Xem thêm 
Thưởng th.04.2026
Bảng xếp hạng
