Để rút gọn biểu thức \( \frac{1}{2-\sqrt{3}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}} - \sqrt{37-20\sqrt{3}} \), chúng ta sẽ xử lý từng phần một cách tuần tự:

1. **Rút gọn phân số:**

Biểu thức \( \frac{1}{2-\sqrt{3}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}} \) có thể được gộp lại bằng cách sử dụng nhân tử liên hợp.

\[
\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}
\]

\[
\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}
\]

Khi cộng hai phân số này, ta có:

\[
(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4
\]

2. **Rút gọn căn bậc hai:**

Bây giờ, ta cần tính \( \sqrt{37 - 20\sqrt{3}} \).

Giả sử \( \sqrt{37 - 20\sqrt{3}} = a - b\sqrt{3} \), bình phương hai vế ta có:

\[
(a - b\sqrt{3})^2 = 37 - 20\sqrt{3}
\]

\[
a^2 + 3b^2 - 2ab\sqrt{3} = 37 - 20\sqrt{3}
\]

Để hai biểu thức bên phải và bên trái bằng nhau, ta thiết lập hệ phương trình:

1. \( a^2 + 3b^2 = 37 \)
2. \( -2ab = -20 \Rightarrow ab = 10 \Rightarrow b = \frac{10}{a} \)

Thay \( b = \frac{10}{a} \) vào phương trình đầu tiên:

\[
a^2 + 3\left(\frac{10}{a}\right)^2 = 37
\]

\[
a^2 + \frac{300}{a^2} = 37
\]

Nhân cả hai vế với \( a^2 \) để khử mẫu số:

\[
a^4 - 37a^2 + 300 = 0
\]

Giải phương trình bậc bốn này như phương trình bậc hai với \( x = a^2 \):

\[
x^2 - 37x + 300 = 0
\]

Tính discriminant:

\[
\Delta = 37^2 - 4 \times 300 = 1369 - 1200 = 169
\]

\[
x_{1,2} = \frac{37 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{37 \pm 13}{2}
\]

\[
x_1 = \frac{50}{2} = 25 \quad \Rightarrow a^2 = 25 \quad \Rightarrow a = 5
\]

\[
x_2 = \frac{24}{2} = 12 \quad \Rightarrow b^2 = 12 \quad \Rightarrow b = 2\sqrt{3}
\]

\[
\sqrt{37 - 20\sqrt{3}} = 5 - 2\sqrt{3}
\]

3. **Kết hợp kết quả:**

\[
4 - (5 - 2\sqrt{3}) = 4 - 5 + 2\sqrt{3} = -1 + 2\sqrt{3}
\]

Vậy, biểu thức đã rút gọn là \( -1 + 2\sqrt{3} \).