Dưới đây là hướng dẫn giải cho từng bài:

### Bài 60:
Cho tam giác \( \triangle ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \). Ta cần kéo dài đường \( CA \) một đoạn sao cho \( AE = AB \), kẻ \( EK \perp BC \), và \( EK \) cắt \( BA \) tại \( Q \).

#### Chứng minh:
Ta cần chứng minh:
\[ BC = \frac{2S_{EBC}}{BE \cdot \sin EBC} \]

1. Tính diện tích \( S_{EBC} \) của tam giác \( \triangle EBC \) theo công thức \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \), trong đó \( h \) là chiều cao từ \( E \) xuống \( BC \).

2. Sử dụng định lý sin trong tam giác \( \triangle EBC \):
- Tính \( BC \) thông qua \( \sin EBC \) và diện tích \( S_{EBC} \).

3. Đối chiếu với biểu thức cần chứng minh:
- So sánh và kiểm tra các thông số đã tính để chứng minh đẳng thức đã cho.

### Bài 61:
Cho tam giác \( \triangle ABC \) có hai đường cao \( AD \) và \( BE \) cắt nhau tại \( H \). Biết \( \frac{HD}{HA} = \frac{1}{2} \).

a) **Chứng minh \( \triangle BDH \sim \triangle ADC \):**

- Sử dụng tính chất của các đường cao và các góc bằng nhau trong tam giác để chứng minh sự đồng dạng của hai tam giác.

b) **Chứng minh \( BD \cdot DC = DH \cdot AD \):**

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác và tính chất đường cao của tam giác để biểu diễn và chứng minh đẳng thức.

c) **Chứng minh \( \frac{AD}{DH} = \tan B \cdot \tan C = 3 \):**

- Xét công thức tính tan của góc trong tam giác và mối quan hệ giữa các cạnh và đường cao.
- Sử dụng các dữ kiện đã cho cùng với đẳng thức đã chứng minh ở phần trước để tìm giá trị liên quan giữa các đoạn thẳng.

Nếu cần chi tiết hơn cho từng phần nào, bạn có thể cung cấp thêm thông tin hoặc yêu cầu hỗ trợ cụ thể hơn.