Để tìm \(x\) và \(y\), chúng ta giải từng phương trình và bất phương trình.

1) \((3x - 5)^{100} + (2y + 1)^{200} \leq 0\)

Vì các số mũ đều là số chẵn và lũy thừa của số thực luôn không âm, nên:
\[
(3x - 5)^{100} = 0 \quad \text{và} \quad (2y + 1)^{200} = 0
\]
Điều này dẫn đến:
\[
3x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{3}
\]
\[
2y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{2}
\]

2) \((x + 2)^2 + 2(y - 3)^2 < 3\)

Thay \(x = \frac{5}{3}\) và \(y = -\frac{1}{2}\) vào:
\[
\left(\frac{5}{3} + 2\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2} - 3\right)^2 < 3
\]

Tính toán sẽ cho thấy điều này không thỏa mãn vì:
\[
\left(\frac{11}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{121}{9} + 2 \cdot \frac{49}{4} = \frac{121}{9} + \frac{49}{2}
\]
\[
= \frac{242}{18} + \frac{441}{18} = \frac{683}{18}
\]
Vì vậy, giả thiết không đúng. \(x\) và \(y\) có thể nằm trong vùng khác.

3) \(2^{x+1} \cdot 3^y = 12^x\)

Viết dưới dạng cơ số chung:
\[
2^{x+1} \cdot 3^y = (2^2 \cdot 3)^x = 2^{2x} \cdot 3^x
\]
Do đó:
\[
2^1 \cdot 2^x \cdot 3^y = 2^{2x} \cdot 3^x
\]
\[
2^{x+1} 3^y = 2^{2x} 3^x \quad \Rightarrow \quad 2 \cdot 3^y = 2^x \cdot 3^x
\]
Suy ra:
\[
2 \cdot 3^y = 2^x \cdot 3^x \quad \Rightarrow \quad x = 1, y = 0
\]

4) \(10^x \cdot 5^y = 20^y\)

Viết dưới dạng cơ số 2 và 5:
\[
(2 \cdot 5)^x (5^y) = (2^2 \cdot 5)^y
\]
Do đó:
\[
2^x \cdot 5^{x+y} = 2^{2y} \cdot 5^y
\]
Suy ra:
\[
x = 2y \quad \text{và} \quad x + y = y
\]

Từ các quá trình giải phương trình, tìm nghiệm chung là giải các phương trình và bất phương trình đồng thời.