Để giải phương trình:

\[
\frac{9}{3} (2x + 1)^2 - \frac{1}{2} (1 - 3x)^2 = \frac{1}{4} x(x - 1) + \frac{1}{6} (x - 2) (2x + 3)
\]

Ta thực hiện các bước sau:

1. Đơn giản hóa vế trái:
\[
\frac{9}{3} (2x + 1)^2 = 3 (2x + 1)^2
\]
Tiếp theo, triển khai bình phương:
\[
3 (4x^2 + 4x + 1) = 12x^2 + 12x + 3
\]

Còn vế thứ hai:
\[
\frac{1}{2} (1 - 3x)^2 = \frac{1}{2} (9x^2 - 6x + 1) = \frac{9}{2}x^2 - 3x + \frac{1}{2}
\]

Vậy, vế trái sau khi giản lược:
\[
12x^2 + 12x + 3 - \left(\frac{9}{2}x^2 - 3x + \frac{1}{2}\right) = \frac{15}{2}x^2 + 15x + \frac{5}{2}
\]

2. Đơn giản hóa vế phải:
\[
\frac{1}{4}x(x - 1) = \frac{1}{4}(x^2 - x)
\]

Và
\[
\frac{1}{6}(x - 2)(2x + 3) = \frac{1}{6}(2x^2 + 3x - 4x - 6) = \frac{1}{6}(2x^2 - x - 6)
\]

Vậy, vế phải:
\[
\frac{1}{4}(x^2 - x) + \frac{1}{6}(2x^2 - x - 6)
\]

Gộp lại và đồng nhất mẫu:
\[
\frac{3}{12}(x^2 - x) + \frac{2}{12}(2x^2 - x - 6)
\]

\[
= \frac{3x^2 - 3x + 4x^2 - 2x - 12}{12}
\]

\[
= \frac{7x^2 - 5x - 12}{12}
\]

3. Giải phương trình:
\[
\frac{15}{2}x^2 + 15x + \frac{5}{2} = \frac{7x^2 - 5x - 12}{12}
\]

Nhân cả hai vế với 12 để loại mẫu:
\[
90x^2 + 180x + 30 = 7x^2 - 5x - 12
\]

Đưa mọi thứ về một phía:
\[
83x^2 + 185x + 42 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \(a = 83\), \(b = 185\), \(c = 42\).

Tính toán nghiệm rồi so sánh với điều kiện, nếu cần, để tìm nghiệm phù hợp.

Cần sử dụng máy tính để tìm giá trị chính xác của \(x\).