Chứng minh rằng 1 + 1 = 2 là một ví dụ cơ bản về toán học và thường dựa trên các tiên đề và định nghĩa trong lý thuyết số học Peano, được sử dụng để xây dựng những khái niệm cơ bản nhất của số học. Dưới đây là cách chứng minh dựa trên các tiên đề Peano:

1. **Tiên đề Peano**: Lý thuyết số Peano bắt đầu với một số tiên đề cơ bản:
- 0 là một số tự nhiên.
- Mỗi số tự nhiên \( n \) có một "số kế tiếp" \( S(n) \), cũng là một số tự nhiên.
- Không có số tự nhiên nào có số kế tiếp là 0.
- Hai số tự nhiên khác nhau không thể có cùng số kế tiếp (tính duy nhất của số kế tiếp).
- Nếu một tính chất đúng với 0 và nếu tính chất đó đúng với \( n \) thì cũng đúng với \( S(n) \), sau đó nó đúng với mọi số tự nhiên (nguyên lý quy nạp).

2. **Định nghĩa số 1 và phép cộng**:
- Số 1 được định nghĩa là số kế tiếp của 0, tức là \( 1 = S(0) \).
- Phép cộng được định nghĩa như sau:
- \( a + 0 = a \) với mọi số tự nhiên \( a \).
- \( a + S(b) = S(a + b) \) với mọi số tự nhiên \( a \) và \( b \).

3. **Chứng minh 1 + 1 = 2**:
- Đầu tiên, định nghĩa số 2: \( 2 = S(1) = S(S(0)) \).
- Áp dụng định nghĩa phép cộng:
\[
1 + 1 = S(0) + S(0)
\]
- Sử dụng định nghĩa của phép cộng với công thức \( a + S(b) = S(a + b) \):
\[
S(0) + S(0) = S(S(0) + 0)
\]
- Áp dụng định nghĩa \( a + 0 = a \):
\[
S(S(0) + 0) = S(S(0))
\]
- Như đã định nghĩa, \( S(S(0)) = 2 \). Vậy suy ra:
\[
1 + 1 = 2
\]

Do đó, theo các định nghĩa và tiên đề của Peano, 1 + 1 thực sự bằng 2.