Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này:

1. Tìm \( x \) thuộc \( \mathbb{Z} \) sao cho:
a. \( A = \frac{5}{x^2} - 3 \) có giá trị nguyên.

Điều kiện để \( A \) là số nguyên là \( \frac{5}{x^2} \) phải là một số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \( x^2 \) là một ước của 5. Các ước của 5 là \( \pm 1, \pm 5 \). Tuy nhiên, chỉ có \( x^2 = 1 \) hoặc \( x^2 = 5 \) thoả mãn \( x \) thuộc \( \mathbb{Z} \).

- Nếu \( x^2 = 1 \), thì \( x = \pm 1 \).
- Nếu \( x^2 = 5 \), thì \( x \) không phải số nguyên, vì \(\sqrt{5}\) không phải số nguyên.

Vậy \( x = \pm 1 \).

b. Phương trình \( 5y - 6x = 2xy = 12 \).

Tuy nhiên, biểu thức \( 2xy = 12 \) dường như là một lỗi chép lại hoặc cần được rõ ràng hơn. Nếu bạn muốn giải hệ hai phương trình hoặc chỉ có phương trình \( 5y - 6x = 12 \), hãy xác nhận lại đề bài. Nếu giả định \( 2xy = 12 \), điều đó không đủ để xác định giá trị.

2. Cho \( A = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{99 \cdot 100} \).

Sử dụng công thức phân tích:
\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Áp dụng vào từng phân số trong tổng:
\[
A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right)
\]

Đây là một chuỗi lồng nhau và sau phép tính gộp, ta có:
\[
A = 1 - \frac{1}{100}
\]

Vì vậy:
\[
A = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}
\]

Bây giờ chúng ta cần chứng minh:
\[
\frac{7}{12} < \frac{99}{100} < \frac{5}{6}
\]

- \(\frac{7}{12} \approx 0.5833\)
- \(\frac{99}{100} = 0.99\)
- \(\frac{5}{6} \approx 0.8333\)

Vì \(\frac{7}{12} < 0.99 < \frac{5}{6}\), điều này chứng tỏ rằng \( \frac{7}{12} < A < \frac{5}{6} \).