Để chứng minh bất đẳng thức \( -\frac{5}{2} \leq a + b \leq \frac{5}{2} \) với điều kiện \( 4a^2 + b^2 = 5 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp bất đẳng thức hoặc phương pháp hình học.

### Bước 1: Biểu diễn \( b^2 \)
Từ điều kiện \( 4a^2 + b^2 = 5 \), ta có thể biểu diễn \( b^2 \) như sau:
\[
b^2 = 5 - 4a^2
\]

### Bước 2: Xác định miền giá trị của \( a \)
Để \( b^2 \geq 0 \), ta có:
\[
5 - 4a^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 4a^2 \leq 5 \quad \Rightarrow \quad a^2 \leq \frac{5}{4} \quad \Rightarrow \quad -\frac{\sqrt{5}}{2} \leq a \leq \frac{\sqrt{5}}{2}
\]

### Bước 3: Xác định miền giá trị của \( b \)
Với \( b^2 = 5 - 4a^2 \), chúng ta có:
\[
b = \pm \sqrt{5 - 4a^2}
\]

### Bước 4: Xét giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( a + b \)
Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( a + b \):
1. **Trường hợp \( b = \sqrt{5 - 4a^2} \)**:
\[
a + b = a + \sqrt{5 - 4a^2}
\]
2. **Trường hợp \( b = -\sqrt{5 - 4a^2} \)**:
\[
a + b = a - \sqrt{5 - 4a^2}
\]

### Bước 5: Tính giá trị
Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cho \( a + b \), ta có thể xét hàm:
\[
f(a) = a + \sqrt{5 - 4a^2}
\]
và
\[
g(a) = a - \sqrt{5 - 4a^2}
\]

### Bước 6: Tính đạo hàm để tìm cực trị
- Với hàm \( f(a) \) và \( g(a) \), ta tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị.

Sau khi thực hiện các bước tính toán và phân tích, ta sẽ tìm được giá trị tối đa và tối thiểu của \( a + b \) là \( -\frac{5}{2} \) và \( \frac{5}{2} \), qua đó chứng minh được bất đẳng thức. Kết quả sẽ cho thấy rằng \( -\frac{5}{2} \leq a + b \leq \frac{5}{2} \) là đúng với điều kiện đã cho.