Để giải phương trình

\[
\frac{x}{2(x-3)} + \frac{x}{x+2} = \frac{2x}{x^2 - 2x - 3}
\]

bước đầu tiên là đơn giản hóa các biểu thức.

1. **Tính mẫu số chung** của các phân số bên trái. Mẫu số chung sẽ là \(2(x-3)(x+2)\).
2. **Chuyển đổi các phân số** sang mẫu số chung:
\[
\frac{x(x+2)}{2(x-3)(x+2)} + \frac{2x(x-3)}{2(x-3)(x+2)} = \frac{2x}{(x-3)(x+2)}
\]
3. **Kết hợp các phân số bên trái**:
\[
\frac{x(x+2) + 2x(x-3)}{2(x-3)(x+2)} = \frac{2x}{(x-3)(x+2)}
\]

4. **Rút gọn và giải phương trình**:
- Nhân chéo hai vế (lưu ý đến điều kiện cho mẫu không bằng 0):
\[
x(x+2) + 2x(x-3) = 4x
\]
- Đặt lại và rút gọn:
\[
x^2 + 2x + 2x^2 - 6x - 4x = 0 \implies 3x^2 - 8x = 0
\]
5. **Giải phương trình bậc 2**:
- Thao tác để tìm nghiệm:
\[
x(3x - 8) = 0 \implies x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 3x - 8 = 0 \implies x = \frac{8}{3}
\]

6. **Kiểm tra điều kiện**:
- Đảm bảo các giá trị không làm mẫu số bằng 0: \(x \neq 3\) và \(x \neq -2\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 0\) hoặc \(x = \frac{8}{3}\).