Để giải bài toán này, đầu tiên, chúng ta sẽ xác định sin \( \alpha \) từ giá trị của cos \( \alpha \).

Biết rằng:

\[
\cos \alpha = -\frac{2}{3}
\]

Sử dụng định lý Pythagore, ta có:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Thay giá trị của cos vào, ta có:

\[
\sin^2 \alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1
\]
\[
\sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1
\]
\[
\sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}
\]

Khi đó, \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \). Vì cos âm thì sin cũng phải âm, ta có:

\[
\sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}
\]

Tiếp theo, ta tính \( \tan \alpha \) và \( \cot \alpha \):

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}
\]

\[
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]

Giờ chúng ta thay các giá trị vào biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{\cot \alpha + 3 \tan \alpha}{2 \cot \alpha + \tan \alpha}
\]

Thay \( \cot \alpha \) và \( \tan \alpha \):

\[
P = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2}}
\]

Tính từng phần của tử và mẫu:

Tử:

\[
\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{2} = \frac{4}{2\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{2} = \frac{4 + 3 \cdot 5}{2\sqrt{5}} = \frac{19}{2\sqrt{5}}
\]

Mẫu:

\[
2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{8 + 5}{2\sqrt{5}} = \frac{13}{2\sqrt{5}}
\]

Cuối cùng:

\[
P = \frac{\frac{19}{2\sqrt{5}}}{\frac{13}{2\sqrt{5}}} = \frac{19}{13}
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là:

\[
P = \frac{19}{13}
\]