a, Xét ΔABC cân tại A, có:

A+B+C=180 độ

⇒A+2B=180 độ

⇒2B=180-A

⇒B=180−A2180−A2 (1)

Ta có: AB=AC và BC=CE

⇒AD=AE

⇒ΔADE cân tại A

Xét ΔADE cân tại A, có:

A+D+E=180 độ

⇒A+2D=180 độ

⇒2D=180-A

⇒D=180−A2180−A2 (2)

Từ (1) và (2)⇒B=D=180−A2180−A2 

mà chúng ở vị trí đồng vị 

⇒DE//BC
b, Ta có: D=E (vì:ΔADE cân tại A)

mà MDE=NED=90 độ

⇒MDB=NEC=90-D

Xét ΔMBD và ΔNCE có:

M=N=90 độ

DB=CE (GT)

MDB=NCE (cmt)

⇒ΔMBD=ΔNCE (cg-gn)

⇒DM=EN (2 cạnh tương ứng)

⇒MB=NC (2 cạnh tương ứng)

c, Ta có: B=C (GT)

⇒ABM=ACN=180-B

Xét ΔABM và ΔACN có:

AB=AC (GT)

ABM=ACN (cmt)

MN=NC (cmt)

⇒ ΔABM=ΔACN (c.g.c)

⇒AM=AN (2 canh tương ứng)

⇒ΔAMN cân tại A

d, Xét ΔABI và ΔACI có:

AI là cạnh chung

AB=AC (GT)

IB=IC

⇒ΔABI=ΔACI (c.c.c)

⇒IB=IC (2 cạnh tương ứng)

mà ΔBIC cân tại I

⇒AI là đường trung trực của MN

⇒AI là tia phân giác góc BAC và MAN