1.Lũy thừa với số mũ nguyên

   a/ Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm

   +Định nghĩa: với a ≠ 0 ; n=0 hoặc n là một số nguyên âm; lũy thừa bậc n của a là số an an xác định bởi : a0=1; 

    + Chú ý:

   Các kí hiệu 00; 0n ( n nguyên âm ) không có nghĩa.

   Với a ≠ 0 và n nguyên ta có: 

   Người ta hay dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu thị những số rất lớn và những số rất bé.

    b/ Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên

    Quy tắc tính

    + Định lí 1: Với a ≠ 0; b ≠ 0 và các số nguyên m; n ta có:

   1/ am.an=am+n

   2/ 

   3/ (am)n=am.n

   4/ (ab)n= an.bn

   5/ 

    So sánh các lũy thừa

    + Định lí 2: cho m; n là các số nguyên. Khi đó:

   - Nếu a > 1 thì ;

   - Nếu 0 < a < 1 thì .

    Hệ quả 1:

   - Với mọi 0< a< b,và m là số nguyên thì:

    Hệ quả 2: với a < b; n là số tự nhiên lẻ thì an < bn

    Hệ quả 3: với a; b là các số dương; n là một số nguyên khác 0 thì:

   an= bn khi và chỉ khi a=b.

   2. Căn bậc n và lũy thừa với số mũ hữu tỉ

    a/ Căn bậc n

    + Định nghĩa:

   Với n nguyên dương; căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho bn=a

    + Chú ý:

   Với n lẻ và với mỗi số thực a có duy nhất một căn bậc n của a kí hiệu là .

   -Với n chẵn:

   a > 0 Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu là  , căn có giá trị âm kí hiệu là .

    Một số tính chất của căn bậc n

   - Với hai số không âm a ; b ; hai số nguyên dương m ; n và 2 số nguyên p ; q tùy ý, ta có:

   b/ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

   Định nghĩa : Cho a là số thực dương và r là 1 số hữu tỉ. Giả sử  ; trong đó m là số nguyên và n là số nguyên dương. . khi đó lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi :

   1. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực

   Định nghĩa : cho a là 1 số thực dương và α là 1 số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ r1 ; r2...rn ..mà lim rn= α. Khi đó dãy số thực  có giới hạn xác định ( không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ (rn) đã chọn ). Ta gọi giới hạn đó là lũy thừa của a với số mũ α ; kí hiệu là aα

   Vậy aα =  .

   Ghi nhớ :

   1/ khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.

   2/ khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

   2. Công thức lãi kép

   Gửi tiền vào ngân hàng ; ngoài thể thức lãi đơn ( tức là tiền lãi của kì trước không được tính vào vốn của kì tiếp theo ; nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra) ; còn có thể thức lãi kép theo định kì. Theo thể thức này ; nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì thì dễ thấy sau N kì số tiền người ấy thu được cả vốn lẫn lãi là :

   1.Định nghĩa:

   Cho hai số dương a; b vớ i a ≠ 1. Số thực thỏa mãn đẳng thức aα =b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là logab .

   Ta viết: 

   Chú ý:

   1/ Không có logarit của số 0 và số âm vì aα luôn dương với mọi α.

   2/ Cơ số của logarit phải dương và khác 1.

   3/ Theo định nghĩa logarit ta có:

   + loga1=0; logaa=1

   + logaaab=b với mọi số thực b.

    + 

   2.Các tính chất

   a/ so sánh hai logarit cùng cơ số.

   Định lí 1 : cho số dương a khác 1 và các số dương b ; c.

   1/ Khi a> 1 thì logab>logac b>c.

   2/ khi 0<a<1 thì logab>logac b<c.

   Hệ quả :

   Cho số dương a khác 1 và các số dương b ; c

   1/ khi a> 1 thì loga b> 0 khi b>1.

   2/ khi 0<a<1 thì log ab> 0 khi b<1

   3/ logab = log ac khi và chỉ khi b=c

   b/ Các quy tắc tính logarit

   Định lí 2 :

   Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có:

    Hệ quả:

    Với a ; b>0 ; a khác 1 và số nguyên dương n ta có :

   3. Đổi cơ số của logarit

    Định lí : Cho 3 số dương a ; b ; c với a ≠ 1 ; c ≠ 1, ta có

   •  hay logca.logab=logcb

   Hệ quả 1 : Với a ; c là hai số dương khác 1 ta có

    hay logac.logca=1

    Hệ quả 2 : Với a là số dương khác 1 ; c là số dương và α ≠ 0 ta có :

   4 . Logarit thập phân và ứng dụng

   Định nghĩa :

   Logarit cơ số 10 của 1 số dương x được gọi là logarit thập phân của x và kí hiệu là log x ( hoặc là lg x)

   1 . Lãi kép liên tục và số e

   Ta đã biết : khi gửi ngân hàng với số vốn ban đầu là A lãi suất mỗi năm là r thì sau N năm số tiền thu về là A( 1+r) N

   Giả sử chia mỗi năm thàn h m kì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi năm là r thì lãi suất mỗi kì là r/ m và số tiền thu được sau N năm ( hay sau Nm kì) là 

   Xét  ; giới hạn trên tồn tại và là 1 số vô tỉ có giá trị là 2,718281828..

   Được kí hiệu là e. Vậy : 

   Từ đó suy ra lim Sm= AeNr.

   Thể thức tính lãi khi m → +∞ gọi là thể thức lãi kép liên tục .

   Như vậy ; với số vốn ban đầu là A ; theo thể thức lãi kép liên tục ; lãi suất mỗi năm là r thì sau N năm số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sẽ là : S= AeNr

   Công thức trên được gọi là công thức lãi kép liên tục.

   2. Logarit tự nhiên

   Định nghĩa : Lô garit cơ số e của một số dương a được gọi là logarit tự nhiên m ( hay logarit Nê-pe) của số a và được kí hiệu là lna.

   + logarit tự nhiên có đầy đủ các tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.

   1.Khái niệm hàm số mũ và hàm số logarit

   Định nghĩa :

   Giả sử a là số dương và khác 1.

   Hàm số dạng y= ax được gọi là hàm số mũ cơ số a.

   Hàm số dạng y= logax được gọi là hàm sỗ logarit cơ số a.

   2. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ ; hàm sỗ logarit

   Định lí 1 :

   3.Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

   a. Đạo hàm của hàm số mũ.

   Định lí 2

   a/ cho hàm số y= ax có đạo hàm tại mọi số thực x và

   (ax)’= ax. Lna

   Đặc biệt ( ex)’= ex

   b/ Nêú hàm số u= u(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y= au(x) có đạo hàm trên J và

   ( au(x) )’= u’(x) .au(x) . lna

   Đặc biệt: (eu(x) )’= u’(x).eu(x)

   b. Đạo hàm của hàm số logarit.

   a. Hàm số y= logax có đạo hàm tại mọi x > 0 và

   Đặc biệt 

   b. Nếu hàm số u= u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số y= logau(x) có đạo hàm trên J và

   Đặc biệt ta có: 

   Hệ quả

   a. 

   b. Nếu hàm số u= u(x) nhận giá trị khác 0 và có đạo hàm trên J thì: với mọi x∈J.

   4.Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit

    a.Hàm số mũ y= ax (a > 0; a ≠ 1).

    • Tập xác định: D = R.

   • Tập giá trị: T = (0; +∞).

   • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

   Có đồ thị:

   + Đi qua điểm (0;1)

   + Nằm phía trên trục hoành.

   +Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

   • Hình dạng đồ thị:

   b. Hàm số logarit y= logax (a > 0; a ≠ 1)

   • Tập xác định: D = (0; +∞).

    • Tập giá trị: T = R.

   • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

   • có đồ thị:

   + Đi qua điểm (1; 0)

   + Nằm ở bên phải trục tung

   +Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

   • Hình dạng đồ thị:

    1.Khái niệm hàm số lũy thừa

   Hàm số có dạng y= xα với α là một hằng số tùy ý được gọi là hàm số lũy thừa.

   Nhận xét:

    Tập xác định của hàm số y= xα là:

   + D= R nếu α là số nguyên dương.

   + D= R\{0} với α nguyên âm hoặc bằng 0

   + D= (0; +∞) với α không nguyên.

   2.Đạo hàm của hàm số lũy thừa:

   Định lí:

   a. Hàm số lũy thừa y= xα với mọi α có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và :

   b. Nếu hàm số u= u(x) nhận giá trị dương có đạo hàm trên J thì hàm số y= uα(x) cũng có đạo hàm trên J và

   Chú ý

   a. đạo hàm của hàm số căn bậc n

   ( với mọi x> 0 nếu n chẵn và với mọi x ≠ 0 nếu n lẻ).

   b. Nếu u= u(x) là hàm số có đạo hàm trên J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0 mọi x∈J khi n lẻ thì:

   4. Vài nét về sự biến thiên và đồ thị của hàm số lũy thừa

    Giới hạn đặc biệt:

   Tiệm cận: Không có

    Giới hạn đặc biệt:

   Tiệm cận:

   Trục là tiệm cận ngang.

   Trục là tiệm cận đứng.

   D. Đồ thị:

   Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1;1)

   Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x3, y = x-2, y = xπ.

   1.Phương trình mũ cơ bản:

   + Phương trình mũ cơ bản có dạng ax =m trong đó m là số đã cho.

   - Nếu m ≤ 0 thì phương trình ax =m vô nghiệm.

   - Nếu m > 0 thì phương trình ax= m có 1 nghiệm duy nhất x= logam. Nói cách khác

   + Phương trình loarit cơ bản có dạng logax=m; trong đó m là số đã cho.

   - Với mỗi giá trị của m ; phương trình logax= m luôn có 1 nghiệm duy nhất x=am. Nói cách khác.

   2. Một số phương pháp giải phương trình mũ

    a) Đưa về cùng cơ số:

    Với a > 0, a ≠ 1: 

   Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì :

   am= an khi và chỉ khi (a-1) (m-n)=0

    b) Logarit hoá:

    c) Đặt ẩn phụ:

    • Dạng 1:  , trong đó P(t) là đa thức theo t.

    • Dạng 2: 

   Chia 2 vế cho b2f(x), rồi đặt ẩn phụ 

    • Dạng 3: af(x)+ bf(x)= m, với ab=1. Đặt t = af(x) ⇒bf(x)=

    d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

    Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

   • Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).

   • Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:

   • Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f(u) = f(v) ⇔ u = v

    e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

   • Phương trình tích A. B = 0 ⇔ 

   • Phương trình A2. B2 = 0 ⇔ 

    f) Phương pháp đối lập

   Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

   Nếu ta chứng minh được: 

   3.Một số phương pháp giải phương trình logarit

    a) Đưa về cùng cơ số

   Với a > 0, a ≠ 1: 

    b) Mũ hoá

    Với a > 0, a ≠ 1: 

    c) Đặt ẩn phụ

    d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

    e) Đưa về phương trình đặc biệt

    f) Phương pháp đối lập

    Chú ý:

   • Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.

    • Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: alogbc = clogba

   A – PHƯƠNG PHÁP CHUNG

   Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:

   • Phương pháp thế.

   • Phương pháp cộng đại số.

   • Phương pháp đặt ẩn phụ.

   • Phương pháp đánh giá

   1.Bất phương trình mũ

    Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax>b ( hoặc ax ≥ b; ax<b; ax ≤ b) với a>0; a ≠ 1

   Ta xét bất phương trình có dạng ax>b

   • Nếu b ≤ 0 , tập nghiệm của bất phương trình là R, vì ax> b mọi x.

   • Nếu b>0 thì bất phương trình tương đương với ax > alogab

   Với , nghiệm của bất phương trình là x > logab.

   Với , nghiệm của bất phương trình là x < logab.

   Ta minh họa bằng đồ thị sau:

   • Với a >1 , ta có đồ thị sau.

   • Với 0< a<1, ta có đồ thị sau.

   Lưu ý:

   1. Dạng 1: 

   2. Dạng 2: 

   3. Dạng 3: af(x) > b(*)

   - Nếu  thì luôn đúng.

   - Nếu  thì (*) ⇔ f(x) < logab.

   - Nếu  thì (*) ⇔ f(x) > logab.

   4. Dạng 4: af(x) < b(**)

   - Nếu  thì (**) vô nghiệm.

   - Nếu thì (**) ⇔ f(x) > logab.

   - Nếu  thì (**) ⇔ f(x) < logab.

   2. Bất phương trình logarit

   • Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.

   • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:

   – Đưa về cùng cơ số.

   – Đặt ẩn phụ.

   – ….

    Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: