Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ∆SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD). Gọi φ là góc tạo bởi (SAC) và (SCD). Giá trị của cosφ bằng

Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, CD. Vì ∆SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SH⊥ABCD.

Kẻ AK⊥SCK∈SC,DI⊥SCI∈SC,IP//AKP∈AC.

Suy ra φ=IP,ID^.

Ta có HC=HD=a52,SC=SD=a2,SM=a72⇒DI=SM.CDSD=a144.

ΔCSA=ΔSCD⇒AK=DI=a144.CI=SK=CD2−DI2=a24⇒CK=3a24.ΔCPI∽ΔCAK⇒IP=CICK.AK=a1412,AP=KICK.AC=2a23.

Áp dụng định lí côsin, ta có

∆APD có PD=AP2+AD2−2AP.AD.cos45o=a53.

∆IPD có cosPID^=IP2+ID2−DP22.IP.ID=57.

Vậy cosφ=57.