Cho đường thẳng y = 2x và parabol y=x2+c (c là tham số thực dương). Gọi S1 và S2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1=S2 thì c gần với số nào nhất sau đây?

Phương pháp:

- Giả sử nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm là x2+c=2x⇔x=a>0x=b>0.

- Sử dụng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) đường thẳng x = a, x = b là S=∫abfx−gxdx để tính S1,S2.

- Giải phương trình S1=S2 và thế c=2b−b2, giải phương trình tìm b sau đó tìm c.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm x2+c=2x⇔x=a>0x=b>0.

Ta có

S1=∫0ax2+c−2xdx=x33+cx−x2a0=a33+ca−a2.

S2=∫ab2x−x2−cdx=x2−x33−cxba=b2−b33−cb−a2+a33+ca

Vì S1=S2 nên ta có:

a33+ca−a2=b2−b33−cb−a2+a33+ca

⇔b2−b33−cb=0

⇔b−b23−c=0 (do b > 0)

Vì b là nghiệm của phương trình x2+c=2x⇒b2+c=2b⇒c=2b−b2.

⇒b−b23−2b+b2=0⇔b=32tmb=0ktm.

Vậy c=2b−b2=34 gần với 1 nhất.

Chọn D.