Biết rằng hàm số y = f(x) = x³ + 2x + 1 đồng biến trên ℝ. Đặt \(A = {\left( {\frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)^3} + 2\left( {\frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)\) và \(B = \frac{8}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}} + \frac{4}{{{x^2} + 1}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \(B = \frac{8}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}} + \frac{4}{{{x^2} + 1}} = {\left( {\frac{2}{{{x^2} + 1}}} \right)^3} + 2.\frac{2}{{{x^2} + 1}}\).

Ta đặt \({x_1} = \frac{2}{{{x^2} + 1}}\) và \({x_2} = \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}}\).

Ta có \[{x_2} = \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 + 2}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 1}} + \frac{2}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{2}{{{x^2} + 1}} > \frac{2}{{{x^2} + 1}}\].

Ta suy ra x₂ > x₁ hay x₁ < x₂.

Vì hàm số đã cho đồng biến trên ℝ và x₁ < x₂ nên ta có f(x₁) < f(x₂).

Suy ra \({\left( {\frac{2}{{{x^2} + 1}}} \right)^3} + 2.\frac{2}{{{x^2} + 1}} + 1 < {\left( {\frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)^3} + 2.\frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}} + 1\).

Do đó \({\left( {\frac{2}{{{x^2} + 1}}} \right)^3} + 2.\frac{2}{{{x^2} + 1}} < {\left( {\frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)^3} + 2.\frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}}\).

Vì vậy B < A hay A > B.

Vậy ta chọn phương án A.