Tìm m để \( - 9 < \frac{{3{{\rm{x}}^2} + m{\rm{x}} - 6}}{{{x^2} - x + 1}} < 6\) nghiệm đúng với mọi x ∈ R.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

\( - 9 < \frac{{3{{\rm{x}}^2} + m{\rm{x}} - 6}}{{{x^2} - x + 1}} < 6\)

⇔ –9(x² – x + 1) < 3x² + mx – 6 < 6(x² – x + 1) vì x² – x + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ

⇔ –9x² + 9x – 9 < 3x² + mx – 6 < 6x² – 6x + 6

⇔ –12x² + 9x – 3 < mx < 3x² – 6x + 12

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12{{\rm{x}}^2} + \left( {m - 9} \right)x + 3 > 0{\rm{     (1)}}\\3{{\rm{x}}^2} - \left( {m + 6} \right)x + 12 > 0{\rm{      (2)}}\end{array} \right.{\rm{ }}\)

Để \( - 9 < \frac{{3{{\rm{x}}^2} + m{\rm{x}} - 6}}{{{x^2} - x + 1}} < 6\) nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ

⇔ phương trình (1) và (2) nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} < 0\\{\Delta _2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 9} \right)^2} - 144 < 0\\{\left( {m + 6} \right)^2} - 144 < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 18m + 81 - 144 < 0\\{m^2} + 12m + 36 - 144 < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 18m - 63 < 0\\{m^2} + 12m - 108 < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < m < 21\\ - 18 < m < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 < m < 6\)

Vậy ta chọn đáp án A.