Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]\]. Biết \[f'\left( x \right).\cos x + f\left( x \right).\sin x = 1\] với \[\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]\] và \[f\left( 0 \right) = 1.\] Tính \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( x \right)dx} .\]

Đáp án A

Ta có \[{\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\cos x}}} \right]^'} = \frac{{f'\left( x \right).\cos x + f\left( x \right).\sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\].

\[ \Rightarrow \frac{{f\left( x \right)}}{{\cos x}} = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan x + C\].

Mà \[f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f\left( x \right) = \cos x\left( {\tan x + 1} \right) = \sin x + \cos x\]

\[ \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = \left( { - \cos x + \sin x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\frac{\pi }{3}}\\_0\end{array} \right. = \frac{2}\].