Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên ℝ\{0}thỏa mãn x2.f2(x)+(2x−1).f(x)=x.f'(x)−1 với ∀x∈ℝ\{0} đồng thời f(1)=−2 . Tính ∫12f(x)dx

Đáp án B

Ta có x2.f2(x)+(2x−1).f(x)=x.f'(x)−1

⇔x2.f2(x)+2x.f(x)+1=x.f'(x)+f(x)

⇔[x.f(x)+1]2=[x.f(x)]'⇔[x.f(x)+1]2=[x.f(x)+1]'

⇔[x.f(x)+1]'[x.f(x)+1]2=1

⇔∫[x.f(x)+1]'[x.f(x)+1]2dx=∫dx⇔∫d[x.f(x)+1][x.f(x)+1]2=∫dx⇒−1x.f(x)+1=x+C.

Theo đề bài ta có f(1)=−2  nên C = 0 suy ra f(x)=−1x2−1x.

Nên ∫12f(x)dx=∫12−1x2−1xdx=1x−lnx12=−ln2−12.