Trong mặt phẳng (α) cho hai tia Ox, Oy và ∠xOy=600. Trên tia Oz vuông góc với mặt phẳng (α) tại O, lấy điểm S sao cho SO = a. Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên hai tia Ox, Oy sao cho OM + ON = a (a > 0 và M, N khác O). Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của O trên hai cạnh SM, SN. Mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất bằng

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN, D' là điểm đối xứng với I qua O

Ta có:

DM⊥OMDM⊥SO⇒DM⊥SOM⇒DM⊥OH

OH⊥DMOH⊥SM⇒OH⊥SDM⇒OH⊥HD

⇒∠OHD=900⇒IO=IH=ID.

Chứng minh tương tự ta có OK⊥SDN⇒OK⊥KD⇒∠OKD=900⇒IO=IK=ID.

⇒IO=IM=IN=IH=IK⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện MNHOK.

Gọi P và Q là trung điểm OM và ON nên P và Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OHM và OKN.

Ta có bán kính mặt cầu này là:

R=IO=RΔOMN=MN2sin∠MON

=OM2+ON2−2OM.ON.cosOMN3=OM2+ON2−OM.ON3

Ta có: OM2+ON2−OM.ON=OM+ON2−3OM.ON=a2−3OM.ON

Lại có OM.ON≤OM+ON24=a24 nên OM2+ON2−OM.ON≥a2−3a24=a24.

Do đó ta có R≥a243=a23.

Vậy S=4πR2≥4π.a232=πa23.

Chọn D.