Cho số phức z thỏa mãn z−1−i+z−3−2i=5 . Giá trị lớn nhất của z+2i bằng

Đáp án B

Gọi z=x+yi,x,y∈ℝ .

Khi đó z−1−i+z−3−2i=5⇔x−1+y−1i+x−3+y−2i=5   1 .

Trong mặt phẳng Oxy, đặt A1;1;B3;2;Ma;b .

⇒Số phức z thỏa mãn (1) là tập hợp điểm Ma;b  trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn MA+MB=5 .

Mặt khác AB=3−12+2−12=5 nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.

Ta có z+2i=a+b+2i . Đặt N0;−2 thì z+2i=MN .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB.

Phương trình AB: x−2y+1=0 .

Ta có H−1;0 nên hai điểm A, B nằm cùng phía đối với H.

Ta có AN=12+32=10BN=32+2+22=5 .

Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có AN≤MN≤BN=5 .

Vậy giá trị lớn nhất của z+2i bằng 5 đạt được khi M≡B3;2 , tức là z=3+2i.