Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn fx+h−fx−h≤h2, ∀x∈ℝ, ∀h>0 . Đặt gx=x+f'x2019+x+f'x29−m−m4−29m2+100sin2x−1 , m là tham số nguyên và m<27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số g(x) đạt cực tiểu tại x=0. Tính tổng bình phương các phần tử của S.

Đáp án A

Từ giả thiết ta có:  fx+2h−fxx+2h−x≤h2, ∀h>0 .

⇒0≤limh→0fx+2h−fxx+2h−x≤limh→0h2=0⇒f'x=0,∀x∈ℝ⇒fx=C(C là hằng số).

Ta có: g'x=2019x+f'x20181+f''x+29−mx+f'x28−m1+f''x−m4−29m2+100sin2x         =2019x2018+29−mx28−m−m4−29m2+100sin2x

g''x=2019.2018.x2017+29−m28−mx27−m−2m4−29m2+100cos2x.

Khi đó: g'0=0; g''0=−2m4−29m2+100.g''0>0⇔m4−29m2+100<0⇔4

TH1: m=2, ta có:g'x=2019x2018+27x26=x262019x1992+27 .

Vì x=0 là nghiệm bội chẵn của phương trình g'(x)=0   nên trường hợp này loại.

TH2: m=5 ta có: g'x=2019x2018+24x23=x232019x1995+24 .

TH3: m=-2, ta có: g'x=2019x2018+31x30=x302019x1988+31 .

Vì x=0 là nghiệm bội chẵn của phương trình g'(x)  nên m=-2 không thỏa mãn.

TH4:m=5  ta có: g'x=2019x2018+24x23=x232019x1995+24 .

Do  đổi dấu từ âm sang dương khi qua  nên hàm số  đạt cực tiểu tại .

TH5: ta có: .

Do g'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x=0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0.

Vậy m∈S=−5;−4;−3;3;4;5  nên tổng các bình phương của các phần tử của S là 100.