Cho số tự nhiên n thỏa mãn \(C_n^2 + A_n^2 = 9n.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

ĐK: n ≥ 2, n ∈ ℕ

\(C_n^2 + A_n^2 = 9n.\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 9n\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n.(n - 1)(n - 2)!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n.(n - 1).(n - 2)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 9n\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n.(n - 1)}}{2} + n.(n - 1) = 9n\)

\( \Leftrightarrow (n - 1)\left( {\frac{n}{2} + n} \right) = 9n\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{2}n\left( {n - 1} \right) = 9n\)

\[ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{n^2} - \frac{3}{2}n - 9n = 0\]

\( \Leftrightarrow 3{n^2} - 3n - 18n = 0\)

\( \Leftrightarrow 3{n^2} - 21n = 0\)

\( \Leftrightarrow 3n\left( {n - 7} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3n = 0\\n - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0(ktm)\\n = 7(tm)\end{array} \right.\)

Vậy n chia hết cho 7.