Cho khối tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\) và thể tích bằng \(\frac{{{a^3}}}{{4\sqrt 3 }}.\) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy?

Gọi \(M,G\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và trọng tâm \(\Delta ABC.\)

Do \(S.ABC\) là khối chóp tam giác đều nên hình chiếu của \(S\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là trọng tâm \(\Delta ABC.\)

Suy ra \(SG \bot \left( {ABC} \right).\)

Khi đó góc giữa cạnh bên và mặt đáy là \(\widehat {SAG}.\)

Ta có: \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3};{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)

Theo đề bài: \[{V_{S.ABC}} = \frac{{{a^3}}}{{4\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \frac{1}{3}.SG.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^3}}}{{4\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \frac{1}{3}.SG.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{{4\sqrt 3 }} \Leftrightarrow SG = a.\]

Trong \(\Delta SAG\) vuông tại \(G\) ta có: \(\tan \widehat {SAG} = \frac = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SAG} = {60^0}.\)

Đáp án A