Cho hàm số \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\), hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Bất phương trình \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) < 2{\rm{x}} + {\rm{m}}\) \[(m\] là tham số thực) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0\,;\,\,2} \right)\) khi và chỉ khi

Ta có \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) < 2{\rm{x}} + {\rm{m}} \Leftrightarrow {\rm{m}} > {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - 2{\rm{x}}\,\,\,(*)\).

Xét hàm số \({\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - 2{\rm{x}}\) trên \((0;2)\).

Ta có \({\rm{g'}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right) - 2 < 0\,\,\,\forall {\rm{x}} \in \left( {0\,;\,\,2} \right)\) nên hàm số \({\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0\,;\,\,2} \right)\).

Do đó \((*)\) đúng với mọi \(x \in \left( {0\,;\,\,2} \right)\) khi \(m \ge g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right)\). Chọn C