Giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {2m - 1} \right)x + 1\) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 là

Ta có \[y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {2m - 1} \right).\]

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 nên \(y' = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2.\)

Để hàm số có hai điểm cực trị \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \[{\Delta '_{y'}} > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 9\left( {2m - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1.{\rm{ }}\]

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m}\\{{x_1}{x_2} = 2m - 1}\end{array} \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow {{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} = 4} \right.\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4\left( {2m - 1} \right) = 4\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 8m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\). Chọn A.