Cho hàm số y=f⁢(x), hàm số y=f'⁢(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình \(f\left( x \right) < m - {x^3} - x\) (\(m\) là tham số thực) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( { - 2;0} \right)\) khi và chỉ khi:

Phương pháp giải:

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(g\left( x \right) < m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) \( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} g\left( x \right)\).

- Lập BBT hàm số \(y = g\left( x \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) < m - {x^3} - x\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right) + {x^3} + x < m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( { - 2;0} \right)\).

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^3} + x\) ta có \(g\left( x \right) < m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( { - 2;0} \right)\)\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} g\left( x \right)\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + 3{x^2} + 1\); g'⁢(x)=0⇔f'⁢(x)=-3⁢x2-1.

Số nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đồ thị hàm số y= -3⁢x2-1.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên \(\left[ { - 2;0} \right]\), phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có duy nhất nghiệm \(x = 0\).

BBT hàm số \(y = g\left( x \right)\):

Dựa vào BBT ta thấy: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right)\).

Vậy \(m \ge f\left( 0 \right)\).