Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho điểm \(A\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right),\,\,C\left( {0\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right)\), \[D\left( { - 2\,;\,\,m\,;\,\,n} \right).\] Trong các hệ thức liên hệ giữa \(m\) và \(n\) dưới đây, hệ thức nào để bốn điểm \[A\,,\,\,B\,,\,\,C\,,\,\,D\] đồng phẳng?

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right)\,,\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 1\,;\,\,1\,;\,\,2} \right),\,\,\overrightarrow {AD} = \left( { - 3\,;\,\,m + 2\,;\,\,n} \right)\);

\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|\,;\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&0\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {5\,;\,\,1\,;\,\,2} \right)\].

Bốn điểm \[A\,,\,\,B\,,\,\,C\,,\,\,D\] đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} = 0\)

\( \Leftrightarrow - 15 + m + 2 + 2n = 0 \Leftrightarrow m + 2n = 13.{\rm{ }}\)Chọn C.