Cho hình nón có chiều cao \(h = 10\) và bán kính đáy \(r = 5\). Xét hình trụ có một đáy nằm trên hình tròn đáy của hình nón, đường tròn đáy còn lại nằm trên mặt xung quanh của hình nón sao cho thể tích khối trụ lớn nhất. Khi đó, bán kính đáy của hình trụ bằng

Theo bài ra ta có \(SO = 10\,,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,OA = 5\).

Đặt \(O'A' = r{\rm{ }}\left( {0 < r < 5} \right)\)

Áp dụng định lí Thalès, ta có:

\(\frac{{O'A'}} = \frac{{SO'}} \Rightarrow \frac{r}{5} = \frac{{SO'}} \Leftrightarrow SO' = 2r \Rightarrow OO' = 10 - 2r\)

Khi đó thể tích khối trụ là:

 \(V = \pi  \cdot O'{A'^2} \cdot OO' = \pi  \cdot {r^2}\left( {10 - 2r} \right) = 2\pi \left( { - {r^3} + 5{r^2}} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( r \right) =  - {r^3} + 5{r^2}\) trên \(\left( {0;5} \right)\) ta có \(f'\left( r \right) =  - 3{r^2} + 10r = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}r = 0{\rm{ }}\left( {ktm} \right)\\r = \frac{3}\end{array} \right.\).

Vậy để thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì bán kính khối trụ bằng \(\frac{3}\). Chọn B.