Cho hai hàm f(x) và g(x) có đạo hàm trên [1; 2021] thỏa mãn f(2021) = g(2021) = 0, xx+12gx+2020x=x+1f'x và x3x+1g'x+fx=2021x2 với mọi x∈1;2021. Tích phân ∫12021xx+1gx−x+1xfxdx bằng

Chọn D.

Ta có xx+12gx+2020x=x+1f'x⇒1x+12gx−x+1xf'x=−2020 1.

Mặt khác x3x+1g'x+fx=2021x2⇒xx+1g'x+1x2.fx=2021 2.

Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được 1x+12gx+xx+1g'x−x+1xf'x−1x2fx=1

⇔xx+1gx−x+1xfx'=1 *.

Lấy nguyên hàm hai vế (*), ta được xx+1gx−x+1xfx=x+C.

Vì f(2021) = g(2021) = 0 nên 0=2021+C⇔C=−2021.

Suy ra xx+1gx−x+1xfx=x−2021.

Vậy ∫12021xx+1gx−x+1xfxdx=∫12021x−2021dx=12x2−2021x20211

=−12.20212+2021−12.