Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có thể tích bằng 24cm3. Gọi E là trung điểm SC. Một mặt phẳng chứa AE cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMEN.

Mặt đáy ABCD là hình bình hành ⇒ΔADC và ΔABC có cùng diện tích

⇒VS.ADC=VS.ABC (hai khối chóp có cùng chiều cao và có diện tích mặt đáy bằng nhau).

Mà VS.ABCD=VS.ADC+VS.ABC=24cm3⇒VS.ADC=VS.ABC=VS.ABCD2=242=12cm3.

Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của SO và AE⇒I là trọng tâm của ΔSAC và I thuộc MN. Gọi SMSB=a và SNSD=ba>0;b>0.

Ta có: VS.ANEVS.ADC=SASA.SNSD.SESC=1.b.12=b2 và VS.AMEVS.ABC=SASA.SMSB.SESC=1.a.12=a2

⇒VS.ANE12=b2 và VS.AME12=a2⇒VS.ANE=6bcm3 và VS.AME=6acm3.

Do đó: VS.AMEN=VS.AME+VS.ANE=6a+6b=6a+bcm3.

Mặt khác: ΔISM và ΔISB có chung chiều cao kẻ từ I và có đáy SMSB=a⇒a=SISMSISB.

Mà I là trọng tâm của ΔSAC⇒SISO=23⇒SISBSSOB=23⇒SISMSSOB=2a3.

Chứng minh tương tự ta có: SISNSSOD=2b3.

O là trung điểm của DB⇒SSOB=SSOD=SSDB2 hay SSDB=2SSOB=2SSOD

⇒2a3+2b3=SISMSSOB+SISNSSOD=2SISM2SSOB+2SISN2SSOD=2SISM+SISNSSDB=2SSNMSSDB

⇒a+b=3SSNMSSDB=3SN.SM.sinMSN^SD.SB.sinBSD^=3.SNSD.SMSB=3ab.

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: ab≤a+b24⇒a+b=3ab≤3a+b24

⇒3a+b≥4 (do a+b>0)⇒a+b≥43⇒6a+b≥8 hay VS.AMEN≥8cm3.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=23⇔SMSB=SNSD=23⇔MN đi qua I và MN//BD.

Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMEN là 8cm3.

Chọn A.