Cho tam giác OAB đều cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M sao cho OM = x. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB. Gọi N là giao điểm của EF và d. Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất.

Ta có VABMN=VM.OAB+VN.AOB=13OM.SΔOAB+13ON.SΔOAB=13MN.SΔOAB.

Tam giác OAB đều cạnh 2a nên SΔOAB=2a234=a23 không đổi.

Do đó VABMN đạt giá trị nhỏ nhất khi MN đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: ΔOAB đều ⇒M là trung điểm của OB.

AF⊥OBAF⊥OM⇒AF⊥OBM⇒AF⊥BM

BM⊥AFBM⊥AE⇒BM⊥AEF⇒BM⊥EF

Ta có ∠BEF=∠OMB=∠OFN⇒ΔOBM∽ΔONFg.g.

⇒ONOB=OFOM⇒ON=OB.OFOM=2a.ax=2a2x.

⇒MN=OM+ON=x+2a2x≥2x2a2x=22a. Dấu "=" xảy ra ⇔x=2a2x⇔x=a2.

Vậy VABMN đạt giá trị nhỏ nhất khi x=a2.

Chọn D.