Cho phương trình \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{3{x^2} - 3mx + 4}} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - mx + 3m}} = - {x^2} + 2mx + 3m - 4\,(1)\). S là tập hợp tất cả các giá trị \(m\)nguyên thuộc khoảng \(\left( {0;2020} \right)\)sao cho phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Số phần tử của \(S\)là

Chọn đáp án A

Đặt \(u = 3{x^2} - 3mx + 4,\,\,v = 2{x^2} - mx + 3m\) suy ra\(v - u = - {x^2} + 2mx + 3m - 4\).

Phương trình đã cho trở thành: \({\left( {\sqrt 3 } \right)^u} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^v} = v - u\,\, \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 } \right)^u} + u = {\left( {\sqrt 3 } \right)^v} + v\,\,.\,\,(2)\)

Xét hàm số \(f(t) = {\left( {\sqrt 3 } \right)^t} + t\) trên \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(f'(t) = {\left( {\sqrt 3 } \right)^t}\ln \sqrt 3 + 1 >0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\) suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó phương trình (2) được viết dưới dạng \(f(u) = f(v) \Leftrightarrow u = v\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 3mx + 4 = 2{x^2} - mx + 3m \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 3m + 4 = 0\,\,(3)\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)\(\left( 3 \right)\)có 2 nghiệm phân biệt\( \Leftrightarrow \Delta ' >0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 3m - 4 >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 4\\m >1\end{array} \right.\,.\)

Vì \(m \in \left( {0;2020} \right)\)nên \(m \in \left\{ {2,3,4,...,2019} \right\}\) .

Vậy số phần tử của \(S\)là \(2018.\)