Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = - 9{x^3} + 9\left( {m + 1} \right){x^2} - 3\left( {2m + 5} \right)x + \frac{7}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Tìm số phần tử của tập \(S\).

Chọn đáp án C

Ta có: \(f'\left( x \right) = - 27{x^2} + 18\left( {m + 1} \right)x - 3\left( {2m + 5} \right)\)

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow - 27{x^2} + 18\left( {m + 1} \right)x - 3\left( {2m + 5} \right) \le 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 9{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + \left( {2m + 5} \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \Delta ' \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2\end{array}\)

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in S = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).

Vây số phần tử của tập hợp \(S\) là 5.