Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2sin2x+3cos2x=m.3sin2x có nghiệm?

Ta có 2sin2x+3cos2x=m.3sin2x⇔2sin2x+31−sin2x=m.3sin2x.

Đặt t=sin2x, t∈0;1. Phương trình đã cho trở thành

2t+31−t=m.3t⇔23t+31−2t=m.

Xét hàm số ft=23t+31−2t, với t∈0;1. Ta có f't=23t.ln23−2.31−2t.ln3;

f''t=23t.ln232+4.31−2t.ln32>0 ∀t∈0;1.

⇒f't liên tục và đồng biến trên [0;1] nên f't≤f'1=23ln29<0, ∀t∈0;1.

⇒ft liên tục và nghịch biến trên [0;1] nên f1≤ft≤f0, ∀t∈0;1.

Chọn B.