Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, hình chiếu của S lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho \(\widehat {AHB} = 150^\circ ;\widehat {BHC} = 120^\circ ;\widehat {CHA} = 90^\circ \). Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB; S.HBC; S.HCA bằng \(\frac{{124\pi }}{3}\). Tính chiều cao SH của hình chóp.

Đáp án C

Gọi \({r_1},{r_2},{r_3}\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HAB,\Delta HBC,\Delta HCA\).

Theo định lí Sin, ta có \(\frac{{\sin \widehat {AHB}}} = 2{{\rm{r}}_1} \Rightarrow {r_1} = \frac{2}{{2.\sin 150^\circ }} = 2\); tương tự \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{r_2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\\{r_3} = 1\end{array} \right.\).

Gọi \({R_1},{R_2},{R_3}\) lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCA.

Đặt SH=2x→R1=r12+SH24=x2+4;R2=x2+43và R3=x2+1

Suy ra ∑S=S1+S2+S3=4πR12+4πR22+4πR32=4π3x2+193=124π3⇒x=233

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{4}{3}\).

Chú ý: “Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và \({R_{\Delta ABC}}\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \to R = \sqrt {R_{\Delta ABC}^2 + \frac{{S{A^2}}}{4}} \) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC”.