Giải phương trình \[8\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin x}}\]

Trả lời:

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{sinx \ne 0}\\{cosx \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow sin2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\)

\[8\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin x}}\]

\[ \Leftrightarrow 8si{n^2}xcosx = \sqrt 3 sinx + cosx\]

\[ \Leftrightarrow 4sinxsin2x = \sqrt 3 sinx + cosx\]

\[ \Leftrightarrow - 2(cos3x - cosx) = \sqrt 3 sinx + cosx\]

\[ \Leftrightarrow - 2cos3x + 2cosx = \sqrt 3 sinx + cosx\]

\[ \Leftrightarrow cosx - \sqrt 3 sinx = 2cos3x\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}cosx - \frac{{\sqrt 3 }}{2}sinx = cos3x\]

\[ \Leftrightarrow cosxcos\frac{\pi }{3} - sinxsin\frac{\pi }{3} = cos3x\]

\[ \Leftrightarrow cos(x + \frac{\pi }{3}) = cos3x\]

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{\pi }{3} = 3x + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{3} = - 3x + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi } + \frac{{k\pi }}{2}}\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})(tm)\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi ;\,\,x = - \frac{\pi } + \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Đáp án cần chọn là: D